אני יודע שאף אחד לא קורא כאן בד"כ

יהודית העלתה לאתר לפני כמה שבועות מסמך באנגלית של מחקר במכללות בארה"ב על תורת ההנמקה וכו'
אני אנסה לתרגם את החלקים החשובים (ולא מצאתי איזה תוכנה \ אתר שיעשה את זה בשבילי ): )
ואני אעלה לכאן.

מחקתי את מה שהיה פה כי שמתי את הכל בגוש אחד למטה

עדכון -

תרגום החלקים החשובים במאמר של תורת ההנמקה (פחות או יותר מעמוד 6, שכתוב עליו בעצם 5 בצד ימין למטה בסופו):

M1 טעות – להתחיל עם המסקנה.
כלומר, להגיע ל"אמת מוחלטת" ולחשוב שההוכחה הסתיימה.
הטעות הנפוצה היא לחשוב שטכניקה תקפה להוכחה מתחילה במסקנה ומסתיימת בעובדה ידועה.
לעומת זאת זה לא תמיד קביל כיוון שלא קל לבנות הוכחה שכל צעד בה ניתן בקלות להפיכה.
דרך טובה שעוזרת לגלות את דרך ההוכחה היא ניתוח משמעות המסקנה – תלמידי מכללות ראו את זה בכיתה, יחד עם ההצהרה שכל השלבים הפיכים ולכן יש נטיה להתבלבל בין "גילוי" להוכחה.

M2 טעות – להסיק משמות קיום.
הכשלון הנ"ל נובע מבעיה להבחין \ להבדיל בין "סמלים" שהוכח קיומים, לבין כאלה שלא. לרוב זה מתרחש כשמנסים לפתור משוואה כשלא בטוחים שהפתרון קיים, לדוגמה – ביקשו בקורס מבוא לחדו"א לפתור את המשוואה cosx = 3 , ורצו לבדוק אם יעלו על העובדה שזו פונ' חסומה בין 1 ל -1 (ואין פתרון) . רוב תלמידי הקורס ניסו לעשות מניפולציות על המשוואה ללא הצלחה להגיע למסקנה הנכונה.

דוגמה נוספת - היא הנחת שלילה כלשהי, ואז שימוש בביטוי שכרגע שללנו. (בדוגמה זה לg אין הופכית, ואז השתמשו ב g-1 שהנחנו הרגע שלא קיימת).
התפיסה המוטעית כאן היא ששמות\ סמלים תמיד מייצגים דברים קיימים. כתיבת , cos x או g-1 מייצגת כביכול שקיים כזה ולכן מראה שיש זכות (לא נכונה) "לשחק" עם הביטוי. אולי זה מגיע מהחטיבה \ תיכון שX מייצג שם משתנה (ה"לא ידוע") אבל שם מדובר לרוב על משהו שקיים וצריך להמצא.

דוגמה אחרונה לנושא היא : (x+3)(x+2) = (x+1)(x+4), שמכאן ניתן להסיק ש 4 = 6 , אם קיים X כזה.

M3 טעות – מה שנראה שונה הוא באמת שונה .
הטעות נובעת מהמחשבה של 2 ביטויים בעלי שם שונה, יש גם ערך שונה. כולנו יודעים שיש כמה דרכים לכתוב מספרים או שברים, לדוגמה 1/2 = 2/4 או 3 = 1+2,
לרוב לא נחשוב של 2 ביטויים מופשטים יש את אותו הערך. זה קורה אף על פי שרוב הסטודנטים יודעים של2 זהויות טריגונומטריות (לדוגמה) יש אותו אותו הערך (cos1 ו – sin0 לדוגמה)


M4טעות – להשתמש בהיפוך של טענה שאפשר להוכיח את אמיתותה
זו דוגמה קלאסית לטעות נימוק. אפילו סטודנטים שיודעים שיש הבדל בין שימוש בטענה להיפוכה עושים את הטעות הזו, בייחוד כשמדובר בהוכחת טענה מסובכת.
כנראה שהבסיס לכך הוא בשפה היומיומית שאנשים אומרים "אם ... אז ... " והם מתכוונים בעצם לאם ורק אם. לדוגמה – כשמישהו אומר "אני לא אלך אם ירד גשם" הוא לעתים קרובות מתכוון "ואם לא ירד אני אלך" . זה הרי שקול לוגית להיפוך.

M5טעות – לחשוב שחוקי המספרים הממשיים הם אוניברסאליים –
לא כל תחום במתמטיקה מתנהג כפי שנרצה שיתנהג.

לדוגמה - ל semigroup (לא חושב שזה תת קבצה) – יכולה להיות רק זהות אחת, לכל היותר.

הוכחה : נניח של semigroupיש 2 זהות, e ו e', אז es=s ו e's= s , לכן e = e'

כשהתלמיד נשאל מדוע הוא ביטל את s בשלב לפני האחרון (או יותר נכון למה זה מותר) הוא ענה – זה לא לבטל, זה הגיון \ לוגיקה.

M6 טעות – שמירה על יחס
סוג הטעות הזה מתרחש לרוב כשתלמיד פועל מתוך מחשבה שמבצע את אותה פעולה על 2 אגפי שוויון (לדוגמה) וזה ישמור את השוויון (או אי שוויון במקרה הבא) – לדוגמה :
נתון H  k ויסיקו ש gh  gk. זה הרי מתקיים רק אם g  0.
התפיסה המוטעית היא שהיחס נשמר כל עוד מבצעים על 2 האגפים את אותה הפעולה.
לעתים אף יש טעות של "פישוט" שגוי אף על פי שאין 2 אגפים – דוגמת פישוט 4x^2 + 2 ל 2x^2 +1.

M 7 טעות – חילופי קבוצות יסוד.
האמת שזה לא נראה רלוונטי אלינו, אבל הרעיון המרכזי כאן הוא שיש לנו תפיסה יותר טובה לגבי מונחי מתמטיקה בסיסיים מאשר לגבי קבוצות. בנוסף יש כאן דוגמה לגבי נתון של תת קבצה G ו... בקיצור יש שם החלפות של אות גדולה עם קטנה אף על פי שמסמנות 2 דברים שונים.

E1 טעות – שימוש באותו "סמל" ל2 דברים שונים.
לרוב נעשה כיוון שאין הבחנה בשוני בין הדברים.

לדוגמה : ישנן 2 קבוצות G1 ו G2 שאיחודם לא ריק , ושתיהן מוכלות בS .
אז e1= e1e2e1 כש e1 היא הזהות של G1 וe2 הזהות של G2.

הוכחה : ישנו איבר g ב G1 איחוד G2 , כך ש g=e1g וגם g=e2g. ...

הטעות כאן נובעת מאי הבחנה בין 2 סוגי הופכיות שקיימים. יש הופכית לG1 שניתן לקרוא לה g1-1 והופכית ל G2 שניתן לקרוא לה g2-1.
 
E2 – החלשת הטענה

בד"כ מתרחש כשמה שאנו משתמשים בו חזק מההנחה או חלש מהמסקנה.
לרוב תלמידים חושבים שהם הוכיחו מעל צל של ספק דבר כלשהו בהשתמשם באיזו שהיא תוספת\טכניקה ידועה ונכונה.
כלומר, אם לא ניתן \ קשה להוכיח דבר כלשהו, יש אפשרות להוסיף השערה כלשהי להנחה ולהוכיח תוצאה חלשה יותר. אף על פי כן, תלמידים לרוב לא מבינים שהם מוכיחים טענה חלשה יותר.

E4 – שימוש שגוי בטענות\ הנחות

בד"כ נגרם מאי הבנה \ הבנה חלקית \ הזנחה חלקית של הטענה \ הנחה או פירוש לא נכון של המסקנה. שילוב של חוסר יכולת לקרוא בצורה מדוייקת יחד עם הרצון לסיים את ההוכחה בזריזות דומה יחסית ל E2 , בכך שכאן הטענה \ הנחה לא מובנת או מפורשת לא כראוי, ואילו שם (ב E2) הטענה שמוכחת אינה מובנת כראוי.

בגלל שרוב הדוגמאות בטקסט מגיעות מתחום מתמטי שלא מוכר לנו אני אנסה לתת דוגמה שכן מוכרת לנו... מחדו"א – נניח שתלמיד יסיק שF מקבלת את ערך המינ' והמקס' שלה כשמדובר על כך שהיא רציפה בתחום פתוח (a,b) והרי אנו יודעים ממשפט ויירשטראס שזה חייב להיות קטע סגור. )התעלמות מחלק מהטענה).

E5 – טעות, מעגליות

בד"כ מתרחש כשחוזרים מנימוק של טענה כלשהי לעצמה. בד"כ הנימוק הוא מגירסה אחת של המסקנה לאחרת שידוע כבר שממש שקול לגירסה הראשונה.

בדוגמה בקובץ PDF נוכל לראות שהתלמיד התחיל עם המסקנה, בחלק הראשון של טיעונו הוא הלך מגירסה ששקולה למסקנה לחצי של הנחה אחרת ואז לקח את החצי השני וחזר לאיפה שהוא התחיל. התלמיד לא הבין מה יוצר הוכחה תקפה אבל הבין את תהליך הטיעונים מחלק מידע אחד לאחר.

E6 – ההוכחה הבלתי מובנת מקומית

במקרה הזה – ההוכחה לא מובנת ככלל וגם לא כל משפט בנפרד. הפורמט\ נוסח נכון ומקובל המילים "טענה" ,"הוכחה" וכו' מופיעות ביחד עם סמלים למיניהם ורוב המשפטים נכונים תחבירית. לעומת זאת ה"טענות"\ "הכרזות" לא תמיד ברורות או נכונות. בד"כ זהו נסיון התקרבות או חיקוי להוכחה מספר לימוד או שנראתה בכיתה.

E7 – "החלפה עם נטישה "

קורה כשמסיקים דבר כלשהו מאחר על ידי שימוש בהחלפה לא מוצדקת. כלומר, יסוד מסויים בהוכחה מוחלף באחר שלא שקול לו. כמובן, יש אישור להחלפות לגיטימיות של משתנים שמכומתים אוניברסאלית לדוגמה, ואולי הבלבול נובע מכך.

בד"כ קורה בהוכחות שמנסים להוכיח בהן "לגבי כל X ב A " (X איבר ב A*) וכמובן מתחילים עם המילים "יהי X ב A ..." מכאן והלאה זהו איבר שרירותי של A אבל שלא ניתן להחלפה (להוצאה מהקשרו ל A) . בהוכחה בקובץ PDF ניתן לראות בהוכחה שהתלמיד בהתחלה קבע איבר g שהוא שרירותי וקשור לG. לאחר מכן החליף את g ב e, כביכול מכומתים אוניברסאלית . בדוגמה השניה h ו k הם שרירותיים, וקשורים לקב' כלשהי מהתחלה, הדרך היחידה להחליף ביניהם היא לדעת שהם שווים.
E8 – התעלמות "הארכת" כמתים.

בעצם נובע מכישלון להבחין בהגבלות על משתנים. לרוב חושבים על משתנה כמכומת אוינברסלית אף על פי שהוא לא.
לדוגמה, נתונה קב' G ואיבר בה –a , אז
H={g e G:ag=ga{
(ה e מייצגת "שייך") . זוהי תת קבוצה של G.
תלמיד אחד הסיק ש H היא חילופית (קוֹמוּטָטִיבִית) בגלל ש ag = ga אבל לא שם לב ש a הוא משתנה שלא כומת אוניברסאלית.

E9 – חורים
כשמם כן הם, מדובר כאן על רצף של 2 שורות , לדוגמה, שבעצם אומר שה"אמירה" בשורה השניה היא תוצאה מיידית של הקודמת אף על פי שדרוש טיעון משכנע.

E10 – שימוש במידע מחוץ להקשר.

קורה כשמשתמשים במידע מטיעון אחד לאחר כשאין ביניהם הקשר. לרוב כיוון שיש בשניהם את אותם "סמלים" או מדובר על תחום דומה ובעיקר כשמדובר בהוכחה ב2 חלקים כשאין קשר בין חלק א' לחלק ב'.





לכל כותרת שלא נתתי דוגמה - ישנן כמה דוגמאות שקצת קשה לתרגם (תורת הקבוצות באנגלית) בכל אופן, אם בא לכם לקרוא, זה בקובץ PDF

.

בהחלט כל הכבוד איתי
תודה

וואוו אחי איזה סיכום מטורף
אני מקווה שיצא לי לקרוא את זה, זה בטח מעניין
ואם כבר סיכמת הכל אתה בטח מבין מה הולך שם אז תגיד לי מראש אם אני אבין גם או שאקרא ובסוף אצטער שהתחלתי בכלל..?

בגדול זה די ברור ולא מזיק לקרוא את זה (לא יודע כמה זה מועיל) ,אני רק מקווה שהייתי עקבי בתרגום